复杂裂项相消：拆解分数数列求和压轴题

一、裂项原理

✅ 本质：

将分式 $\frac{1}{ab}$ 拆为 $k(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$，其中 $b=a+d$

二、三大裂项模型（必背公式）

类型	通项公式	拆分公式
线性分母
平方差型
三项乘积

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三、蝴蝶拆项术（五步绝杀）

📐 案例：求和 $S=\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots +\frac{1}{99\times 101}$
Step1：列项观察

• 通项 $a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Step2：蝴蝶拆分

Step3：裂项写开

• $a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

Step4：展开消项

S = ½[ (1/1 - 1/3) 
     + (1/3 - 1/5)
     + (1/5 - 1/7)
     + ⋯
     + (1/99 - 1/101) ]

Step5：首尾留余

• 内部全消 → S = ½(1 - $\frac{1}{101}$) = $\frac{50}{101}$

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四、平方差裂项（含根式变形）

🔥 案例：求 $S=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\cdots +\frac{1}{10^2-1}$

Step1：平方差分解

• $\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}$

Step2：套用模型

• $a_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$（k=2）

Step3：消项求和

S = ½[ (1/1 - 1/3) 
     + (1/2 - 1/4)
     + (1/3 - 1/5)
     ⋮ 
     + (1/9 - 1/11) ]

Step4：余项处理

• 消中间 → 余：½( $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$ )

• 结果：$\frac{1}{2}(1.5-0.1-0.0909)\approx \frac{1}{2}\times 1.3091\approx 0.65455$

• 精确值：$\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{21}{110}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{81}{110}=\frac{81}{220}$

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五、三项连乘裂项（高阶拆解）

📐

案例：$S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$
Step1：拆为两项差

• $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$

Step2：展开消项

S = ½[ (1/1 * 2 - 1/2 * 3)
     + (1/2 * 3 - 1/3 * 4)
     + ⋯
     + (1/10 * 11 - 1/11 * 12) ]

Step3：首尾留余

• 

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六、裂项误诊表（纠错指南）

错误类型	典型错例	修正方案
系数计算错误		补系数 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$
消项错位	展开式首项未对齐	写前3项后2项人工校验
分母变形不彻底	$\frac{1}{4n^2-1}$未用平方差	$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ → 拆$\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$

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七、裂项手卡模板（考场速查）

🃏 卡片正面：

分式类型	裂项公式
1/n(n+k)	1/k(1/n - 1/(n+k)
1/(2n-1)(2n+1)	1/2[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]
卡片背面：

• 消项口诀：“头留第一项，尾留末项负”

• 验证案例：$\frac{1}{1\times 2}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}=1-\frac{1}{100}$

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压轴真题：行星轨道模型（跨学科应用）

🪐 问题：卫星绕行轨道分成10段，第n段耗时为$\frac{1}{n(n+2)}$小时，求总时间？
解：

• 通项 $t_n=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$

• 求和 $T=\frac{1}{2}[(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})-(\frac{1}{11}+\frac{1}{12})]=\frac{1}{2}(1.5-\frac{23}{132})\approx 0.653$小时

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