分数应用七类题：和倍/差倍/工程问题全突破

一、和倍问题（两数和+倍数关系）

🚀 核心公式：

📐 真题案例：

两数和120，甲是乙的2/3，求甲乙？
解：设乙为单位“1”，则甲为2/3 → 和1+2/3=5/3对应120
乙：120 ÷ 5/3 = 72
甲：120 - 72 = 48

🔥 口诀：

“和倍问题画线段，总量除以分率和”

---

二、差倍问题（两数差+倍数关系）

🚀 核心公式：

📐 真题案例：

甲比乙多30，乙是甲的3/5，求乙？
解：设甲为单位“1”，乙为3/5 → 差1 - 3/5 = 2/5对应30
甲：30 ÷ 2/5 = 75
乙：75 × 3/5 = 45

🔥 口诀：

“差倍问题抓差值，除以倍差得单位”

---

三、工程问题（核心：效率×时间=总量）

🚀 核心方法：

1. 设工作总量为单位“1”

2. 效率 = 1/时间

3. 合作效率 = 效率之和

📐 三类必考模型：

类型	公式	案例
基础合作	时间 = 1/效和	甲10天完成，乙15天→合做？ T=1/(1/10+1/15)=6天
中途离开	分段计算剩余量	甲独做需12小时，做3小时后乙加入（效为甲2/3），求总时？ ① 甲做3小时：完成3/12=1/4 ② 剩余3/4由合作完成：(1/12 + 1/18) = 5/36效 ③ 时间：3/4 ÷ 5/36 = 5.4小时 → 总时8.4小时
轮流工作	周期累计法	甲、乙、丙效率比2:3:4，按甲→乙→丙循环各做1小时，完成工程需？小时 ① 每周期（3小时）完成量：2/T + 3/T + 4/T（T为各自时间） ⚠️ 正解：设总量为1，每周期完成(2+3+4)/60 = 9/60 = 3/20（假设效率：甲1/30、乙1/20、丙1/15） ② 周期数：1 ÷ 3/20 ≈ 6.67 → 取整6周期（18小时）完成18/20 = 9/10 ③ 剩余1/10：甲做1小时1/30 → 剩1/15，乙做1/15 ÷ 1/20 = 4/3小时 → 总时18 + 1 + 4/3 = 20$\frac{1}{3}$小时

---

四、量率对应图（万能解题工具）

🔥 绘制四步法：

1. 画线段标总量（单位“1”）

2. 标已知量对应分率

3. 用“？”标未知量

4. 根据对应关系列式

📐 案例：一本书读完3/5剩60页，求总页？

列式：剩余分率 1 - 3/5 = 2/5 对应60页
总量 = 60 ÷ 2/5 = 150页

---

五、三大陷阱突破指南

1. 陷阱1：单位“1”转换

• ❌ “甲比乙多$\frac{1}{4}$”误设乙为1 → 甲=1.25

• ✅ 必须明确：“比”后是单位“1” → 乙为1，甲为$1+\frac{1}{4}$

2. 陷阱2：未完成量占比

• ❌ 工程做3天完成$\frac{1}{3}$，剩$\frac{2}{3}$，但效率变时需重新计算

3. 陷阱3：差倍中的反向关系

• ❌ “甲比乙少$\frac{1}{5}$”误认为乙=甲×$\frac{6}{5}$

• ✅ 正确：甲=乙×(1-$\frac{1}{5}$)=乙×$\frac{4}{5}$ → 乙=甲×$\frac{5}{4}$

六、工厂零件模型（抽象转具象）

🏭 模型规则：

• 将工程总量设为具体数（如120零件）

• 效率转化为实际件数（例：甲效1/10 → 12件/天）

📐 案例：

原题：甲乙合作10天完成，甲效是乙2/3
转具象：设总量120件 → 合效12件/天
乙效：12 ÷ (1 + 2/3) ×1 = 7.2件/天 → 甲效：12-7.2=4.8件/天
原题解：乙效1/10 ÷ (1+2/3) ×1 = 3/50

---

终极检验：三大类综合大题

1. 和倍+工程：

   甲乙合作8天完成工程，若甲单独比乙少12天，求各需几天？
   解：解：设乙效$\frac{1}{x}$，甲效$\frac{1}{x-12}$ → $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-12}=\frac{1}{8}$
   解得x=20 → 乙20天，甲8天

2. 差倍+量率：

   书架二层，下层书比上层多1/4，从下层移30本到上层后，下层是上层的5/6，求原下层书？
   解：
   设上层原书4份 → 下层5份
   移书后：上 4份+30，下 5份-30
   $5份-30$$\frac{5份-30}{4份+30}=\frac{5}{6}$ → $30份-180=20份+150$ → 份=33
   下层：5×33=165本

3. 工程+周期：

   甲乙合修路，甲独需12天，乙独需18天，先合做3天，后乙离开，剩余甲独做，求总天数？
   解：
   合效：$\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}$
   合做3天：$3\times \frac{5}{36}=\frac{5}{12}$
   剩余：$1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$
   甲做：$\frac{7}{12}÷\frac{1}{12}=7$天 → 总天数3+7=10天

咨询老师

#量率对应 #单位1问题 #工作效率 #差倍公式 #分数应用题