工程问题公式：用「单位1法」破解复杂情境题

一、「单位1法」底层逻辑

核心公式：
工作效率 = 1/工作时间
总工作量设定：将整个工程视为“1”，复杂工程拆分为多个“子单元1”

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二、七步破解复杂情境

步骤1：设定总工程量为1

• 操作：无论题干是否明确，先声明“设总工程量为1”

• 口诀：“工程总量设为1，从此计算有根基”

步骤2：计算个体效率

• 公式：
  个体效率 = 1/单独完成时间

• 案例：

• 甲单独需10天 → 效率=1/10

• 乙单独需15天 → 效率=1/15

步骤3：组合效率计算

• 规则：

• 合作：效率相加（1/10 +1/15）

• 干扰：效率相减（如先合作后停工）

• 案例：
  甲+乙合作效率=1/10 +1/15=1/6

步骤4：分阶段建模

• 模板：
  总工作量 = ∑ (各阶段效率×时间)

• 复杂情境处理：

• 人员变动：调整对应阶段的效率

• 工程暂停：效率置零处理

步骤5：建立方程求解

• 方程范式：
  阶段1工作量 + 阶段2工作量 + ⋯ =1

步骤6：验证结果合理性

• 检验项：

• 各阶段时间非负

• 总耗时大于最快单人时间（多人合作时例外）

步骤7：反向代入复核

• 操作：将答案代入原题，验证各阶段工作量之和为1

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三、多阶段工程案例拆解

案例1：交替工作+中途停工

甲单独需12天，乙单独需18天。两人合作3天后甲离开，乙继续工作2天，剩余工程由丙单独9天完成。求丙效率。

解题步骤：

1. 总工作量=1

2. 阶段1（甲乙合作3天）：
   (1/12 +1/18) × 3 = (1/12 +1/18) × 3 =5/12

3. 阶段2（乙独做2天）：
   1/18 × 2=1/9 

4. 阶段3（丙独做9天）：
   丙效率 ×9 =1 -5/12 -1/9 =1 -15/36 -4/36=17/36
   → 丙效率=17/36 ÷9=17/324

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案例2：动态调人+效率变化

工程原计划由甲队20天完成。甲队工作5天后，乙队加入且效率提升25%，最终提前4天完工。求乙队单独完成时间。

解题步骤：

1. 总工作量=1

2. 实际耗时：20-4=16天

3. 阶段1（甲独做5天）：
   1/20 ×5=1/4

4. 阶段2（甲乙合作x天）：

• 甲效率提升25% → 新效率=1/20 ×1.25=1/16

• 设乙效率=1/y

• 工作量=(1/16 +1/y) × (16-5) = (1/16 +1/y) ×11

5. 总方程：
   1/4 +11(1/16 +1/y)=1
   → 解得 y=44天

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四、高频易错点与避坑指南

错误类型	避错策略
效率与时间混淆	牢记“效率=1/时间”口诀
分阶段漏算停工时间	时间轴标注各阶段起止点
百分比效率计算错误	明确基数（如“提升25%”指原效率1.25倍）
反向验证未执行	强制检验工作量之和是否为1

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五、实战训练题库

1. 基础题：甲需15天，乙需10天，两人合作几天完成？
   答案：1 ÷ (1/15 +1/10)=6天

2. 进阶题：甲队单独30天完成，乙队效率是甲2倍。甲先做10天，乙加入后共同工作，求总耗时。
   答案：剩余工作量=1-10/30=2/3 → 合作效率=1/30 +2/30=1/10 → 耗时=2/3 ÷1/10≈6.67天 → 总时间≈16.67天

3. 压轴题：蓄水池有进出水管。单开进水管6小时满，单开出水管8小时空。现水池有1/4水，同时打开两管，多久后水池满？
   答案：需注入3/4水量 → 净效率=1/6 -1/8=1/24 → 时间=3/4 ÷1/24=18小时

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总结：单位1法通过“整体归一化”将复杂工程拆解为可量化阶段，辅以时间轴标注与反向验证，可破解所有动态工程难题。牢记“效率即导数，分阶段求和”原则，考试遇到工程题再也不慌！

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