行程问题进阶：用分数小数解相遇追及新思路

一、两大核心模型（先转化速度为分率）

🚀 公式升级：

✅ 关键突破：将速度转化为每分钟/秒的行程占比（分率）

例：甲速$\frac{1}{3}$路/分，乙速$\frac{1}{4}$路/分 → 速度和$\frac{7}{12}$路/分

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二、相遇问题三阶解法（图解）

📐 案例：AB两地60km，甲从A到B速15km/h，乙从B到A速10km/h，求相遇时间？
Step1：速度分率化

• 设总路程为1 → 甲速$\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$/h，乙速$\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$/h
  Step2：计算速度和

• $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$/h
  Step3：求时间

• $t=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}=2.4$小时

📊 动态比例图：

相遇时路程比 = 速度比 15:10=3:2
∴ 甲走$60\times \frac{3}{5}=36$km，乙走$60\times \frac{2}{5}=24$km

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三、追及问题分数模型（含折返陷阱）

📐 案例：环形跑道400m，甲速6m/s，乙速4m/s，同向出发何时首遇？
Step1：速差分率

• 速度差 $6-4=2$m/s → 每圈追及占比 $\frac{2}{400}=\frac{1}{200}$圈/秒
  Step2：首遇时间

• $t=\frac{1}{\frac{1}{200}}=200$秒

🔥 折返陷阱题：

AB直路100m，甲从A到B速3m/s，乙从B出发2s后以5m/s追甲，乙到A立即折返，求追及点？
分阶段解：

1. 乙出发时甲已行3×2=6m，距B剩94m

2. 从B追甲需时：$t_1=\frac{94}{5-3}=47$秒（追至距B 5×47=235m? ❌ 矛盾）
   ✅ 新思路：设t秒后乙追及甲（从乙出发计时）：

• 甲总行程：6 + 3t

• 乙行程折返：100 + (5t - 100)（折返后路程）

• 追及条件：乙行程 = 甲行程 + 初始距离
  方程：5t = 6 + 3t + 100（折返前追及假设）
  → 2t=106 → t=53秒
  此时乙行5×53=265m > 200m（折返过），实际甲行6+3×53=165m（未到B）
  结论：在折返后距A 165-100=65m处追及

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四、速度分数化的四大优势

传统方法	分率法优势
大数计算易错	分率简化计算（如1/4）
单位转换繁琐	直接路程占比（无单位）
多对象运动复杂	速度比=分率比（直观）
环形问题理解困难	周长=“1”，速差即追及效率

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五、生活验证：高铁时刻表模型

🚄 案例：

车次	发车	到站	路程	时速
G1	8:00	10:30	600km	?
G2	8:30	11:00	600km	?
问题：G1在途中停站10分钟，G2若追及G1？
✅ 分率解：

1. G1时速：$600÷2.5=240$km/h → $\frac{1}{2.5}$路/时
   （停站后有效速：$600÷(2.5+\frac{1}{6})\approx 218$km/h → $\frac{1}{2.75}$）

2. G2时速：$600÷2.5=240$km/h → $\frac{1}{2.5}$

3. 追及速差：$\frac{1}{2.5}-\frac{1}{2.75}=\frac{0.4-0.3636}{1}\approx 0.0364$

4. 初始距离：G1早发车30分钟行$240\times 0.5=120$km
   → $t=\frac{120}{240-218}\approx 5.45$小时 → 不合理（实际G2更慢）

结论：G2速度≤G1，无法追及

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六、家长带孩子实操：公交站追击实验

🚌 道具：

• 比例地图（1cm:100m）

• 小车模型（标速度：甲3cm/s，乙4cm/s）

• 秒表

✅ 实验任务：

1. 甲从A点出发2秒后乙从同地追及

2. 实测乙追及时间 → 对比分率法计算

3. 分率验证：

• 设总路程为单位“1”

• 乙速 $\frac{1}{T}$/秒，甲速 $\frac{1}{T+\Delta t}$/秒（$\Delta t$为时间差）

**七、三类必考压轴题模板

1. 相遇+追及综合：

甲乙从AB相向行，遇后甲提速20%到B，乙减速25%到A，总时6h。已知遇前甲行4h，求原速比？
解：
设相遇点M，AM:MB = $v_{甲}:v_{乙}$
遇后甲行MB速$1.2v_{甲}$，时$t_1=\frac{MB}{1.2v_{甲}}$
乙行MA速$0.75v_{乙}$，时$t_2=\frac{MA}{0.75v_{乙}}$
由$t_1+t_2=2$h（总时6h-遇前4h）及$MB=\frac{v_{乙}}{v_{甲}}AM$
关键方程：
$\frac{\frac{v_{乙}}{v_{甲}}AM}{1.2v_{甲}}+\frac{AM}{0.75v_{乙}}=2$
令$k=\frac{v_{乙}}{v_{甲}}$，$s_{AM}=s_1$ → $\frac{k{s}_1}{1.2v_{甲}}+\frac{s_1}{0.75k{v}_{甲}}=2$
两边除$s_1/v_{甲}$： $\frac{k}{1.2}+\frac{1}{0.75k}=2$
解得$k\approx 1.2$ → 速比$v_{甲}:v_{乙}\approx 1:1.2$

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终极检验：火箭回收问题

🚀 场景：

• 火箭从100km高落向基地，速8km/分

• 回收船从基地驶向落点，速0.5km/分

• 火箭距地80km时船出发，能否在火箭落地前到达？
  💡 分率解：

• 火箭落地时$t_1=\frac{100}{8}=12.5$分

• 船需时$t_2=\frac{80}{0.5}=160$分 > 12.5分 → 不能到达

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