圆周长公式延伸：半圆/扇形的新题型解题模板

一、半圆与扇形的核心公式

图形	周长公式	面积公式
半圆
扇形

二、高频题型解题模板

题型1：组合图形周长计算

题干特征：半圆与矩形/三角形拼接，求总周长（如拱门、花坛围栏）。
解题步骤：

1. 拆解图形：分离半圆与直线部分，标记各段长度。

2. 计算弧长：半圆弧长 πr 或扇形弧长 。

3. 剔除重叠边：若组合后隐藏边，需减去重复计算部分。

例题：

一个窗户上部是半圆，下部是矩形（宽1.2m，高0.8m），求窗框总长度。
解答：

1. 半圆直径=矩形宽=1.2m → 半径 r=0.6m

2. 半圆弧长：π× 0.6 ≈ 1.884m

3. 矩形贡献的周长：两侧高 + 底边 → 2 × 0.8 + 1.2 = 2.8m

4. 总周长：1.884 + 2.8 ≈ 4.684m
   ✅ 口诀：“半圆加直径，组合去重叠”

题型2：动态路径问题

题干特征：物体沿半圆/扇形边缘运动，求路径总长（如滚轮、蚂蚁爬行）。
解题步骤：

1. 分析轨迹：明确滚动是否打滑，判断实际路径与圆周长的关系。

2. 分段计算：直线与弧线路径分开求和。

例题：

硬币半径2cm，沿桌面无滑动滚动1周，求硬币边缘某点的轨迹长度。
解答：

• 滚动一周→圆心移动距离=周长 2πr = 4πcm

• 点轨迹为摆线，但题目常简化为圆心移动距离 + 自转周长 → 4π + 4π =8π cm
  ❗ 易错点：直接计算为2πr，忽略平移叠加。

题型3：已知周长反求半径/角度

题干特征：给出半圆或扇形的周长，求半径、直径或圆心角。
解题模板：

1. 列方程：用周长公式表达已知条件。

2. 解代数式：注意角度单位（度数/弧度）统一。

例题：

一个扇形周长20cm，半径6cm，求圆心角度数。
解答：

✅ 关键步骤：“弧长加两径，方程解未知”

题型4：阴影部分周长

题干特征：由多个半圆/扇形交错形成阴影，求其边界总长。
解题模板：

1. 描边法：沿阴影外围逐段分析各边性质（弧或直线）。

2. 对称性简化：利用图形对称性合并相同部分。

例题：

四个等圆两两相切围成边长为4cm的正方形，求中间空隙的周长。
解答：

1. 每个圆半径 r=2cm

2. 空隙边界由4个90°圆弧组成（每个圆弧为圆周长的1/4）

3. 总周长：
   ❗ 陷阱：误算为完整圆周或忽略圆弧角度。

题型5：极值问题（最大面积/最短周长）

题干特征：固定周长下，求半圆/扇形最大面积，或反之。
解题模板：

1. 建立函数：用变量表示面积/周长，消元后得单变量函数。

2. 求导/配方法：找极值点（适合中学高年级），或代入特殊角度验证。

例题：

用篱笆围成一个半圆加矩形（总长20m），求最大采光面积的尺寸。
解答：

1. 设半圆半径r，则矩形宽2r，高h

2. 总周长：

3. 面积 S =  → 代入h并化简为关于r的二次函数

4. 求导得极值点 r ≈ 2.8m，对应最大面积
   ✅ 技巧：“二次函数开口下，顶点即最大值”

三、避错口诀与检验法则

1. 半圆周长必加直径：“半圆弧，加直径，漏加就错零分定”

2. 扇形角度单位统一：“角度弧度分清楚，公式切换要同步”

3. 组合图形边重复检验：“描边法，绕一周，重复线段要减掉”

4. 极值问题物理意义：“半径不为负，角度不过360”

四、实战练习

1. 基础题：一个半圆形草坪周长51.4m，求半径。（答案：r=10m）

2. 综合题：扇形半径5cm，弧长是周长的$\frac{1}{3}$，求圆心角和面积。（答案：$\theta =120^{\circ }$，面积$\frac{25}{3}\pi {\text{cm}}^2$）

3. 压轴题：等腰三角形顶角120°，以各顶点为圆心画弧形成花边，求花边总长（边长10cm）。（答案：三段60°圆弧，总长$3\times \frac{60}{360}\times 2\pi \times 10=10\pi \text{cm}$）

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